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這個數學中最大的陷阱,毀掉無數數學天才,卻有著不可抗拒的魔力!

温晗晗 2023/05/11

這是數學界一個充滿神秘的難題。這個看似簡單的問題,卻一直困擾著數學家們,至今尚無法找到一個滿意的解答。

這個問題的核心內容是這樣的:從任意一個正整數開始,如果這個數是偶數,就將其除以2;如果是奇數,則乘以3再加1。然后對所得的結果重復以上步驟。關于這個問題的猜想認為,無論我們從哪個正整數出發,最終都會達到數字1(進入一個4,2,1的循環)。舉個例子,任意選一個數字,比如7。應用這兩個規則:

如果數字是奇數,我們乘以3再加1,所以3乘以7是21,加1是22。 如果數字是偶數,我們除以2,所以22除以2是11。

繼續應用這兩個規則。11是奇數,所以乘以3得到33,再加1得到34。偶數除以2得到17。奇數乘以3得到51,加1得到52。偶數除以2得到26,還是偶數除以2得到13。奇數乘以3得到39,加1得到40,偶數除以2得到20,除以2得到10,除以2得到5。奇數乘以3得到15,加1得到16,除以2得到8,然后是4、2和1。

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

1是奇數,所乘以3再加1,結果等于4。然后4可以變成2,2可以變成1,從而進入了一個4,2,1的循環。

這個猜想被稱為 科拉茨猜想(Collatz conjecture),也被稱為 3X+1猜想。通過應用3x+1得到的數字被稱為 冰雹數(hailstone numbers),因為它們像雷暴云中的冰雹一樣上下起伏,但最終都會降到1。

你可以把這些數字想象成高度(以米為單位),表示在地面以上的高度。所以像26這樣的數字開始時離地面26米高,如果應用3x+1,它會升到40米的高度,在總共在10步內降到1。

所以 10被稱為它的總停止時間。但是,如果選擇數字27,它就會跳來跳去,一直上升到 9232,比珠穆朗瑪峰還要高,然后它也會降回地面1。總共需要111步才能讓27降到1,最終陷入 4-2-1循環。不同數字的路徑變化非常大,即使是緊挨著的數字如26和27。

那麼,如何解決這個問題呢?

jeffrey legarius是3x+1問題的世界權威。他告誡他的學生

如果你想要事業,那就不要研究這個問題。不要花時間寫關于這個問題的文章或發表關于這個問題的論文。先做一些實際的數學工作。

他的一個學生alex conterovich沒有聽從他的建議,研究了冰雹數的路徑,看是否有規律。顯然,所有數最終都會回到1, 但是它們回到1的過程如何呢?模式是隨機的

下面是一個隨機選擇的大數字的回到1的路徑。

圖形先是達到峰值,然后很快下降,后面的數字在這個尺度上幾乎無法看清楚。但是,如果取對數,你會發現這個曲線圖有一個向下的趨勢。

這并非巧合,它是 幾何布朗運動的例子。這意味著,如果取對數并消除線性趨勢,波動是隨機的。

這就像在拋擲硬幣。如果硬幣是正面,線條上升;如果是反面,線條下降。3x+1就像股市的隨機波動,只不過長時間內股市趨勢是上升的,而3x+1趨勢是下降的。

分析3x+1的另一種方法是觀察 序列中每個數字的最高位數。比如120最高位數字是1,934最高位數字是9。下面是以3為起始的冰雹數,

10→5→16→8→4→ 2→ 1

我們可以數出有多少數字以1開頭,有多少數字以2開頭,有多少數字以3開頭等等,做一個直方圖。

我們可以對以4為起始的序列做同樣的事情,對于以5、6和7為起始的序列,我們同樣可以統計以每個數字1到9為開頭的數字數量,并畫出直方圖。如果繼續為越來越大的數字做這個操作,最終直方圖會穩定下來。

對于前十億個序列,你會發現1是最常見的最高位數字,30%的數字以1開頭,約17.5%的數字以2開頭,12%的數字以3開頭,更高位數字的頻率逐漸降低,不到5%的數字以9開頭。

這種模式不是3x+1獨有的,實際上它在各個領域都有出現,從國家人口到公司價值,以及物理常數和斐波那契數列等等。

這種分布被稱為 本福特定律(benford‘slaw ,它甚至可以用于 檢測欺詐。如果你的所得稅表格上的所有數字都符合本福特定律,那麼你可能是誠實的;如果不符合,你可能在隱藏一些事情。在選舉中,本福特定律可用于發現違規行為。當涉及的數字跨越幾個數量級時,本福特定律效果最佳,正如3x+1所涉及的數字。

但是本福特定律無法告訴我們所有的數字是否都會陷入4-2-1循環。為此,我們需要另一種分析方法。乍一看,當應用3x+1時,所有數字都應該以1為終點,這似乎很奇怪。因為,奇數和偶數的數量是相同的,但奇數增加了三倍加1,而偶數只是減半。

因此,平均來說,每個序列似乎應該增長而不是縮小。但是問題在于,每次將奇數乘以3然后加1,它總是變成偶數,這意味著下一步是除以2。所以奇數實際上并沒有通過3x+1增加三倍,它們增加了約3/2的因子(忽略了加1,因為對于大數來說它無關緊要)。

實際上,3/2是奇數在一步內增長的最大程度。想一想從序列中的一個奇數到下一個奇數的路徑,在乘以3并加1之后,得到一個偶數,50%的情況除以2會得到一個奇數。但是有四分之一的情況,可以在得到下一個奇數之前除以4, 所以有四分之一的數字,序列中的下一個數字將是其初始值的四分之三有八分之一的情況,可以在得到下一個奇數之前除以8,有十六分之一的情況,可以在得到下一個奇數之前除以16等等

如果取幾何平均數,你會發現平均來說,要從一個奇數到下一個奇數,需要乘以3/4,這個值小于1,

所以從統計上講,3x+1序列更可能縮小而不是增長。

以341為例,乘以3再加1,得到1024,除以2,然后再除以2,再除以2,再除以2,一共十次,直到減少到1。

可視化3x+1中數字路徑的一種方法就是簡單地展示每個數字如何連接到序列中的下一個數字,這被稱為 有向圖(directed graph

它看起來像一棵樹。 如果猜想成立,這意味著每個數字都會連接到這個圖,一直到無窮大,最終都匯入到4-2-1的巨大河流中。

一些數學家通過將每個數字逆時針旋轉(如果是奇數)和順時針旋轉(如果是偶數)來修改這種可視化。然后你得到一個看起來像珊瑚或海藻的結構。通過調整奇數和偶數的旋轉角度,你可以創建出這些美麗的有機形狀。

現在,猜想可能有兩種錯誤的方式:可能存在以某個數字開始的數字序列,它們會無限增長。出于某種原因,它不遵循所有其他數字所遵循的數值規律。另一種可能性是存在一個數字序列,形成一個封閉的循環。這個循環中的所有數字都與主圖無關。

然而,到目前為止,盡管已經進行了大量嘗試,但仍未發現任何通往無窮大的序列或循環。數學家們已經暴力測試了所有小于2的68次方的數字,沒有一個能推翻這個猜想。

因此,猜想很可能是正確的,但還沒有被證明。數學家嘗試證明這一猜想的一種方法是制作 散點圖,x軸表示所有的初始數字(種子數字),y軸表示每個序列中的一個數字。現在, 如果你可以證明在每個3x+1序列中都有一個比原始種子數字小的數字,那麼你就證明了Collatz猜想,因為無論你選擇哪個數字,你都知道它在某個時候會變得更小,而這個更小的數字作為種子也會變得更小,如此重復直到1,這意味著任何序列的唯一結束方式都是4-2-1循環

雖然尚未證明這一點,但在1976年,Rijoteras證明了幾乎所有的Collatz序列都能達到低于初始值的點。1979年,這個極限被降低,幾乎所有序列都能達到低于x的0.869次方的點。

然后在1994年,它進一步降低到小于x的0.7925次方。

在這種情況下,「 幾乎所有數字」具有技術性的數學定義,意味著當你觀察的數字趨向無窮大時,落在曲線下的數字比例趨向于1。

然后在2019年,世界上最偉大的在世數學家之一,陶哲軒,證明了3x + 1遵循更嚴格的標準。

他證明了幾乎所有的數字最終都會小于任意函數f(x),只要該函數在x趨向無窮大時也趨向無窮大。

但是這個函數可以增長得非常慢,例如log x或者log log x,甚至是log log log log x。

這意味著對于幾乎所有的數字,可以保證在其序列中有一個任意小的數字。在2020年的一次公開演講中,陶哲軒說這已經非常接近Collatz猜想了。

然而,迄今為止,還沒有人證明為什麼一個數字不能一直飆升到無窮大。而且,只需要一個這樣的數字就足以證明猜想是錯誤的。或者,某些數字集合可能是一個與主圖不相連的閉環。據我們所知,只有一個循環,即4-2-1。但是, 如果包含負數,情況就變得奇怪了。在同樣應用3x+1規則的情況下,不僅有一個循環,而且有三個獨立的數字循環,它們從較低的數值,如-17和-5開始。

為什麼在數軸的負數部分會出現不相連的循環,而在正數部分則沒有呢?

現在,支持猜想的最有力的證據之一是陶哲軒證明 幾乎所有的數字序列中都有一個任意小的數字。但是,證明幾乎所有數字都符合這一標準,并不等于證明所有數字都符合這一標準。在1到100之間有多少個完全平方數?答案是10個。

所以,在100以內的數字中,有10%是完全平方數。在1到1000之間有多少個完全平方數?答案是31個。因此,在1000以內的數字中, 只有3.1%是完全平方數。數字越大,這個百分比就越小 ,以至于在極限情況下,你可以說幾乎所有的數字都不是完全平方數當x趨向無窮大時,不是完全平方數的數字比例趨向于1。

然而,我們知道有無窮多的完全平方數,并且我們知道它們分布在哪里。現在我們已經通過暴力方法測試了所有高達2的68次方的數字,并且它們都符合科拉茨猜想。但在所有數字的范圍內,2的68次方幾乎算不了什麼。1919年喬治·波利亞提出的 波利亞猜想(Polya conjecture 認為,對于任何給定的自然數,大多數自然數具有奇數個質因數。

這個猜想最終在1958年被C·布賴恩·哈塞爾格羅夫證明是錯誤的,當時他找到了一個反例。這個反例的值是

這個數字比已經檢驗過的3x+1的最大數字大約10的340次方。這意味著,即使我們已經測試了高達2的68次方的所有數字,也不能保證這個猜想是正確的,因為在所有數字的范圍內,這個數字幾乎微不足道。

我們需要繼續探索和證明,尋找潛在的反例或者最終證明科拉茨猜想的正確性。然而,直到目前為止,這個猜想仍然是一個未解之謎。我們可以把3x+1看作是在圖靈機上運行的一個簡單程序,種子數是輸入到這台機器的數據。

在這個例子中,2的68次方僅僅是一條68個方格長的輸入帶。你可以把它們想象成一串0和1,或者黑白方格。

這台機器已經把所有輸入轉換到這個68格方格帶上,并將其降到1,但這說明不了什麼。實際上, 只要有限,計算一個表現出任意行為的數字是相當簡單的。但在如果超出了你指定的有限部分之后,你就沒有更多的控制權了。如果存在一個反例,那麼有人猜到它的可能性幾乎是0, 因為所有可能性的空間太大,無法通過暴力搜索來窮舉。2的1000次方不是一個可以搜索的空間。所以,如果我們要找到它,我們必須通過一種智能過程來找到它,而不是通過猜測和檢驗。

當然還有另一個可能性 ,那就是我們永遠無法得知這個問題是無法決定的

1987年,約翰·康威創建了3x+1的推廣,這是一個他稱之為 Fractran的數學機器。他證明了這台機器是圖靈完備的,這意味著它可以做任何現代計算機能做的事情。但這也意味著它受到 停機問題的影響,即機器永遠不會停止運行,因此不會給出輸出。

這并不能證明3x+1也受到停機問題的影響,但根據我們所知, 我們可能永遠無法證明科拉茨猜想是正確的還是錯誤的。

我一直認為數字是非常規整的東西,充滿了模式、對稱和重復。但現在我才意識到數字其實是多麼奇特。最明顯的例子是科拉茨猜想的 Choral表示法,通過一個簡單的數學運算產生了如此復雜、有機且難以捉摸的東西。

所有的數字是否都與這個結構相連?還是有一些獨特的數字與這一切無關,或者延伸到無窮遠?為什麼這麼難以分辨?

我想這就是為什麼保羅·埃爾德什說, 對于這樣的問題,數學還不夠成熟。我喜歡3x+1問題,因為它是一個幾乎所有人都可以理解和研究的問題。實際上,自己嘗試去解決問題是學習的最好方法。


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